مسائل رياضية للتدريب

[راما]

عمم إقليدس مبرهنة فيثاغورس :

« في المثلثات القائمة الزاوية، مساحة شكل مرسوم على الوتر، يساوي مجموع مساحتي الشكلين المشابهين له المرسومين على ضلعي الزاوية القائمة. »

بتعبير آخر: « إذا أنشأنا أشكالا متشابهة على أضلاع مثلث قائم الزاوية، فإن مساحتي الشكلين الصغيرين تساوي مساحة الشكل الكبير. »

هذه الخاصية تسمح لنا بالبرهنة على أن مساحة مثلث تساوي مجموع مساحتي الهلالين المرسومين على ضلعي الزاوية القائمة: مبرهنة الهلالين.

[راما]

برهان حديث لمبرهنة فيثاغورث :
لنعتبر مثلثا قائم الزاوية حيث قياسات أضلاعه هي b ،a و c. نقوم بنسخ المثلث ثلاث مرات بحيث يشكل كل ضلع طوله a مستقيما مع ضلع طوله b لمثلث آخر. نحصل في الأخير على مربع طول ضلعه a+b، كما في الصورة.

لنحسب مساحة المربع المحدد بالأضلاع ذات الطول c. بالطبع المساحة هي c²، وتساوي أيضا فرق مساحة المربع الكبير ذو الضلع a+b ومجموع مساحات المثلثات الأربع. مساحة المربع الكبير هي ²(a+b) لأن طول ضلعه هو a+b. ومجموع مساحات المثلثات هي أربع مرات مساحة مثلث واحد، أي 4(ab/2)،
إذن الفرق هو (a+b)²-4(ab/2) بالتبسيط a²+b²+2ab-2ab أي a²+b². بهذا نكون قد برهنا على أن مساحة المربع ذو الضلع c تساوي a²+b²، أي a²+b²=c².