معلومة على السريع

[راما]

معلومة على السريع
علوم
الرئيسية علم الرياضيات العدد الذهبي ومتتالية فيبوناتشي المدهشة
العدد الذهبي ومتتالية فيبوناتشي المدهشة
1 week مضت بواسطة MOHAMED ALAM 2
في القرن الثاي عشر ، اهتم احد العلماء الايطاليين ويدعى ليوناردو
فيبوناتشي بعدد الأرانب التي من الممكن تتوالد كل عام أذا بدأنا بزوج
واحد فقط من الأرانب.
افترض فيبوناتشي أنه اذا كانت الأرانب تصل الى مرحلة النضج او البلوغ مرة
كل شهرين ، وبافتراض ان الأرانب تتزاوج بعد ذلك لتنتج زوجا اخر من
الأرانب مرة كل شهر فأن عدد الأرانب سوف يتزايد كل شهر طبقا للمتوالية
التالية:
0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، …
ربما مرت عليك هذه السلسلة فى احد أسئلة امتحانات الذكاء وتقوم انت بحلها
بمنتهى السهولة ، حيث يمثل كل رقم حاصل جمع الرقمين السابقين ، لكنها قد
تحلها وانت لا تعلم انها تمثل واحد من أشهر السلاسل على الأطلاق فى
الطبيعة وفي علم الرياضيات انها متتالية فبيوناتشي Fibonacci series

تتألف متتالية فيبوناتشي من الأرقام التالية: 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21،
34، 55، … ونعرِّف متتالية فيبوناتشي، في شكل مبسَّط، بأنها متتالية
الأرقام التي ينتج كلُّ رقم فيها عن مجموع الرقمين السابقين له، والتي
حداها الأولان يساويان الواحد، و قد كانت دراسة توالد الأرانب وفق هذه
المتتالية السبب الذي أدى إلى اكتشافها.
حاول بعض العلماء أن بحلوا شفرة هذه السلسلة الذهبية ، فمثلا حاولوا ان
يقدروا النسبة بين كل رقمين متتابعين فقاموا مثلا بقسمة كل رقم على الرفم
السابق له ، فأكتشفوا ان هذه المتتالية تنفرد بخصائص كثيرة منها العلاقة
مع الرقم الذهبي ، ذلك أنه إذا اعتبرنا قسمة كل عدد من المتتالية على
العدد الذي يسبقه (1÷1=1 ، 1÷2=2 ، 2÷3=1.5 ، 3÷5= 1.6660000 ، 5÷8=1.6،
8÷13= 1.625، 13÷21 = 1.61538، …) نلاحظ بأننا نقترب شيئا فشيئا من الرقم
1.618034 الذي يسمى الرقم الذهبي نظرا لخصائصه العجيبة في الرياضيات كما
في الطبيعة
اطلق العلماء على الرقم الذهبي اسم فاي وبعد محاولة التوصل الى النسبة
بين 40 رقم متتالي فى متوالية فيبوناتشي وجدوا انه يمكن تقريب فاي الى 15
رقم عشري
Φ = 1.618033988749895, …
تتكون النسبة الذهبية من رقمين هما 1.618034 و 0.618034 وكلا الرقمين هو
المقلوب الحسابي للرقم الأخر (لاحظ أن الرقمين متطابقين بعد العلامة
العشرية) لذلك فأن بعض محاولات تمثيل هذه النسبة تتشكل بواسطة رسم مستطيل
اضلاعه تساوي 0.618034 إلى 1 أو (1 الى 1.618034) فكلاهما يعطي نفس
المستطيل بنفس النسبة بين اطوال أضلاعه
هذين الرقمين مدهشين بطريقة تثير الأعجاب والأنتباه ليس فقط لأن الرقمين
متماثلبن بعد العلامة العشرية ، بل ايضا لأن كلا من الرقمين يمثل المقلوب
الحسابي للأخر (لو قسمنا 1 علي أي رقم منهما فسوف يعطينا الرقم الأخر) ،
هذين هما الرقمين الوحيدين في الطبيعة الذان يحققان هذه الخاصية ، فكما
ان لدينا احد النسب الأساسية في الطبيعة باي (ط) والذي يمثل احد النسب
المتسامية او الأرقام الغير منتهية في الطبيعة بمعني أن الأرقام خلف
العلامة العشرية لا تنتهي مهما كتبتها فأن الرقمين الذان يمثلان النسبة
الذهبية لفيبوناتشي هما ارقام غير منتهية لكنهما متطابقان مع بعضهما بشكل
لا يصدق.

1

السحر هنا في هذه النسبة انها موجودة في الطبيعة وتستخدم في الفن والبناء
والتصاميم ، بل أنها حتي ظهرت في النسبة بين المجرات والقواقع ، و تظهر
متتالية فيبوناتشي أن هناك أشياء في الطبيعة تخضع لقوانين التناسق، وقد
لوحظ في مجالات شتى أن الأشياء الجميلة تتناسب في قياساتها بنسب معينة
لتكون بهذا الجمال، وقد انطبق ذلك في مجالات شتى، في فن العمارة، وفي
الرسم، وفي النباتات والحيوانات وغير ذلك، وسنأتي على ذكر بعضها على سبيل
المثال لا الحصر
.
تم العثور على أول دليل لهذه النسبة الذهبية في اعمال البناء و التي
تتجلي فيها خصائص هذه النسبة المدهشة في أهرامات الجيزة ،و التي يبدو
أنها بنيت اعتمادا على النسبة 5 إلى 8 بين الأرتفاع والقاعدة ، أى حوالي
(0.625) والتي تمثل نسبة قريبة جدا الى النسبة الذهبية الكاملة 0.618034
، على الرغم من أن العلماء يختلفون حول ما إذا كان المصريون على علم فعلا
بهذه النسبة.
و اذا كان ليس من المؤكد معرفة إذا كان المصريين عرفوا هذه النسبة أم لا،
فليس هناك شك في أن الإغريق كانوا على علم بها وانهم قد تمكنوا من حسابها
، وأطلقوا عليها “النسبة الذهبية” ، ليس معروفا لماذا ؟ أو كيف ؟ ، يبدوا
انهم شعروا بأن هذه النسبة رائعة في شكلها ومعطياتها ، وقد قاموا بدمجها
فى الكثير من الأعمال الفنية والمباني الخاصة بهم ، و أشهرها على الأطلاق
مبني البارثينون.

2

ثم في القرن السادس عشر بدأ عبقري النهضة ليوناردو دافنشي في استغلال هذه
النسبة في اعماله الفنية وفي منحوتاته ، أما الهنود القدماء فقد عرفوا
متتالية فيبوناتشي قبل ظهورها فى أوروبا حيث طبقوها في علم أوزان الشعر ،
كما اكتشف انها موجوده في نسب جسم الانسان بدءا من نسب توزيع اماكن
الاعضاء واطوالها من عيون وانف ورقبه واصابع ويدين وارجل الى توزيعها في
مختلف الحيوانات مثل توزيع اعضاء الحوت وعلاقه الاطوال فيما بينها الى
توزيع نفس الاعضاء في النمر مثلا ، بل وفي توزيع الخطوط على جسمه الى
اسلوب الانحناءات في حشرة الحلزون وفي كل الحيوانات بصوره وباخرى ، فمثلا
قس المسافة بين كتفك و أصابع يدك, ومن ثم أقسم الرقم الناتج بناتج
المسافة بين مرفقك و أصابع يدك ، أو قم بقياس المسافة بين رأسك و وقدمك,
وأقسم الناتج على ناتج المسافة بين السرة و القدم, سوف تجد أن النتيجة
تقترب من نسبة 1.618، كما توجد النسبة الذهبية بين نصف الكف إلى نصف
الإصبع، وغيره من أقسام الأصبع ، و يبدو إذا أن هذه النسبة الذهبية
لايمكن أن نتجنبها أو أن نغفل حضورها الطاغي في حياتنا
كل مخلوق في الطبيعه خلق الله سبحانه تلك السلسله متواجده فيه بل واكتشف
ان تكاثر الخلايا والتكاثر بين الحيوانات ينطبق عليها حسابيا في مضاعفات
من سلسله ارقام فيبوناشي وقد وضع مثال بتكاثر زوج من الارانب يتوالد كل
شهر وفي كل مرحله يتبين ان ناتج عدد الازواج لايخرج عن احد ارقام
فيبوناشي ووجدت انها كذلك في اسلوب تضاعف الخلايا وحتى في مراحل نمو
الجنين وفي دوائر الموجات الصوتيه وفي اشكال الذبذبات ومنحنى ذبذبه دقة
قلب الانسان وفي علاقات رياضيه عديده
وايضا تلعب هذه النسبة دورا هاما في سوق الأوراق المالية كما هو الحال في
الطبيعة ، في استراتيجيات مثل إرتداد فيبوناتشي وفي خوارزميات االكمبيوتر
مثل تقنية فيبوناتشي للبحث ‏(en)‏ وهيكلة بيانات تكدس فيبوناتشي ‏(en)‏ ،
ويمكن استخدامها في تحديد النقاط الحرجة التي يحتمل أن تتراجع عندها
أسعار الأسهم.وقد أثبتت التجارب أن السعر كلما لامس إحدى هذه النقاط يعود
مرة أخرى للاتجاه السابق للسهم.

3

4

5

6

مستطيل فيبوناتشي
**************
مستطيل فيبوناتشي هو طريقة لتمثيل متتالية فيبوناتشي هندسياً، إذ نستطيع
أن نحصل على متتالية فيبوناتشي إذا رسمنا مربعين متجاورين طول الضلع
فيهما وحدة واحدة، ثم رسمنا مربعاً طول ضلعه 2 وحدة (1 + 1) بحيث يكون
منشأً على مربعين متجاورين، ثم نرسم مربعاً طول ضلعه 3 وحدات (1 + 2)
منشأً على المربعين السابقين وهكذا … لا حظ الرسم
7

8

9

وإذا رسمنا ربع دائرة في كل مربع على الترتيب، ينشأ عندنا شكل لولبي
(حلزوني) ، نلاحظ أن الشكل اللولبي المصنوع في مربعات المستطيل الذهبي
تصنع خطوطاً من المركز تتزايد بمعامل النسبة الذهبية، أي أن النقاط على
اللولب تكون على بعد 1.618 مرة عن المركز بعد ربع دورة

10

المثلث الذهبي
**********
هناك طريقة أخرى للحصول على نسبة ذهبية، وذلك يتم من خلال بناء مثلث
متساوي الساقين بحيث أن زاوية الرأس تساوي 36ْ، وزوايا قاعدته يساويان
72ْ. كما في الشكل


11

و يمكن رؤية الشكل اللولبي بمثل هذا التناسب في أشياء كثيرة في الطبيعة
مثل الحلزونات، والصدف البحري، وترتيب البذور في بعض النباتات الزهرية.
كما أن المخاريط الصنوبرية تشكِّل حلزونين يلتفان يساراً ويميناً وفق
متتالية أعداد فيبوناتشي، أيضاً في الأناناس 5 حلزونات مباشرة و8 معاكسة،
وفي زهرة اللؤلؤ 21 و34، وفي عبَّاد الشمس 34 و55، ويمكن أن تصل فيها إلى
55 و89.
وتوجد مماثِلات لهذه الحلزونات في أنواع كثيرة من النباتات، مثل الأناناس
والصنوبريات وأوراق الأشجار و القواقع و المجرات و غيرها.

12

13

14

15

كما تظهر لنا المتتابعة في نمو النباتات فعند أخذ فسيلة من النبات ، يبدأ
التفرع في النباتات بعد مضي شهرين ، و يحقق التفرع متتابعة فيبوناتشي
بالترتيب : 1،1،2،3،5،8،13

كما هي موضحة في الصورة التالية

16

وهناك عشرات الالاف من المواقع كلها تبحث في عالم هذه السلسله الواسع
والاكتشافات والابحاث فيها لاتتوقف.

بقلم : محمد علام

المصادر:- 1 2 3

Larry Gedney, Geophysical Institute, University of Alaska Fairbanks,
in cooperation with the UAF research
community (2003)

NASA (pictures from Hubble space telescope), 2003

www.eatonhand.com/hw/fibonacci1.jpg (July 2003)

www.gi.alaska.edu/ScienceForum/ASF7/716.html (July 2003)

www.allaboutcards.powerup.com.au/Forcb.htm (July 2003)

--
Dr,Abduooo